Como se calcula a probabilidade de que a média amostral caia entre dois valores, sabendo μ, σ e n?

Padronize com o escore Z usando o erro padrão:
\(Z=\dfrac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\) e calcule
\(P(a\le\bar X\le b)=\Phi\!\left(\dfrac{b-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\right)-\Phi\!\left(\dfrac{a-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\right).\)

Explicação e exemplo:
Calcule o erro padrão \( \sigma_{\bar X}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\).
Converta os limites em escores Z: \(Z_a=\dfrac{a-\mu}{\sigma_{\bar X}}\), \(Z_b=\dfrac{b-\mu}{\sigma_{\bar X}}\).
Use a tabela ou função da normal padrão Φ para obter a probabilidade como diferença entre Φ(Z_b) e Φ(Z_a).

Exemplo: Seja \( \mu=100\), \( \sigma=20\), \( n=25\). Queremos \(P(95\le\bar X\le105)\).
\( \sigma_{\bar X}=\dfrac{20}{\sqrt{25}}=\dfrac{20}{5}=4.\)
\(Z_{95}=\dfrac{95-100}{4}=-1{,}25,\quad Z_{105}=\dfrac{105-100}{4}=1{,}25.\)
\(P= \Phi(1{,}25)-\Phi(-1{,}25)=0{,}8944-0{,}1056\approx0{,}7888\) (≈78,9%).