Se somarmos n variáveis aleatórias iid com média μ e desvio-padrão σ, qual é a distribuição aproximada do total e quais são sua média e seu desvio-padrão?

Resposta

Aproximadamente Normal, com média \( \mu_{total}=n\mu \) e desvio-padrão \( \sigma_{total}=\sigma\sqrt{n} \).

Explicação:
Pela linearidade da esperança: \( \mu_{total}=n\mu \).
Pela independência, a variância soma: \( \sigma^2_{total}=n\sigma^2 \Rightarrow \sigma_{total}=\sigma\sqrt{n} \).
O Teorema do Limite Central garante que a soma é aproximadamente normal quando n é grande e as variâncias são finitas.

Exemplo:
Suponha 25 peças produzidas independentemente com tempo médio de inspeção \( \mu=8 \) min e desvio-padrão \( \sigma=3 \) min.
Então o tempo total tem média \( \mu_{total}=25\times8=200 \) min e desvio-padrão \( \sigma_{total}=3\sqrt{25}=15 \) min.
Portanto, aproximadamente: \( \text{Tempo total}\sim N(200,15^2) \).