Como, pela distribuição da média amostral, se calcula P(|X̄−μ|>d)?

Calcule o erro padrão \( \sigma_{\bar{x}}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\), padronize \(z=\dfrac{d}{\sigma_{\bar{x}}}\) e use a normal padrão: \(P(|\bar X-\mu|>d)=2\big(1-\Phi(z)\big)\).

Explicação:
1) A média amostral tem distribuição \(\mathcal{N}\big(\mu,\sigma^2/n\big)\).
2) O desvio padrão da média (erro padrão) é \(\sigma_{\bar{x}}=\sigma/\sqrt{n}\).
3) Para a probabilidade de duas caudas, padronize o limiar \(d\) por \(z=d/\sigma_{\bar{x}}\) e calcule \(2[1-\Phi(z)]\).

Exemplo:
Suponha \(\sigma=8,\; n=16,\; d=4\).
\(\sigma_{\bar{x}}=\dfrac{8}{\sqrt{16}}=\dfrac{8}{4}=2\).
\(z=\dfrac{4}{2}=2\).
Usando \(\Phi(2)\approx0{,}97725\):
\(P(|\bar X-\mu|>4)=2(1-0{,}97725)=2(0{,}02275)=0{,}0455\approx4{,}55\%.\)