Flashcard FC282318
Qual é o estimador de máxima verossimilhança para a taxa \(\beta\) da distribuição exponencial em termos da média amostral?
Principais Distribuições Contínuas
VUNESP · 2023
Qual é o estimador de máxima verossimilhança para a taxa \(\beta\) da distribuição exponencial em termos da média amostral?
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Resposta
\(\hat{\beta}=\dfrac{1}{\bar{x}}\)Derivação:
A densidade é \(f(x|\beta)=\beta e^{-\beta x}\).
Verossimilhança: \(L(\beta)=\beta^n e^{-\beta\sum x_i}\).
Log-verossimilhança: \(\ell(\beta)=n\ln\beta-\beta\sum x_i\).
Derivando e igualando a zero: \(\dfrac{d\ell}{d\beta}=\dfrac{n}{\beta}-\sum x_i=0\Rightarrow \hat{\beta}=\dfrac{n}{\sum x_i}=\dfrac{1}{\bar{x}}\).
Exemplo:
Para a amostra \(\{0{,}5,\,1{,}0,\,1{,}5\}\):
\(\bar{x}=\dfrac{0{,}5+1{,}0+1{,}5}{3}=1{,}0\).
Logo \(\hat{\beta}=\dfrac{1}{\bar{x}}=1\).
Veja como foi cobrado:
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