Qual distribuição tem a soma dos quadrados de n variáveis independentes \(N(0,1)\) e o que representa o parâmetro n?

Resposta

Qui‑quadrado com n graus de liberdade; n é o número de termos (graus de liberdade).

Explicação:
Se \(X_1,\dots,X_n\) são independentes e \(X_i\sim N(0,1)\), então \(Y=\sum_{i=1}^n X_i^2\) satisfaz \(Y\sim\chi^2_n\).
Além disso, \(E[Y]=n\) e \(\operatorname{Var}(Y)=2n\).

Exemplo:
Considere \(X_1,X_2\) independentes com \(N(0,1)\). Então \(Y=X_1^2+X_2^2\sim\chi^2_2\).
Para \(n=2\), a \(\chi^2_2\) é uma exponencial com densidade \(f(y)=\tfrac{1}{2}e^{-y/2}\) para \(y\ge0\).
Por exemplo,

\(P(Y>4)=\int_{4}^{\infty}\tfrac{1}{2}e^{-y/2}\,dy=e^{-4/2}=e^{-2}\approx0{.}1353.\)