Qual é a expressão da função geradora de momentos de uma soma de n variáveis de Bernoulli independentes com parâmetro p?

M_X(t)= (1-p + p\,e^{t})^{n}

Explicação:
Pela definição, \(M_X(t)=E[e^{tX}]=\sum_{k=0}^n e^{tk}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{\,n-k}\).
Aplicando a expansão binomial obtém-se \(M_X(t)=\bigl((1-p)+p\,e^t\bigr)^n\).
Alternativamente, como a binomial é soma de \(n\) Bernoulli iid, o MGF é o produto dos MGFs individuais: \(\bigl((1-p)+p\,e^t\bigr)^n\).

Exemplo:
Se \(n=3\) e \(p=0.4\):
\(M_X(t)=(0.6+0.4e^t)^3\).
Valor em \(t=1\): \(M_X(1)=(0.6+0.4e)^3\).
A esperança obtida pela derivada em zero: \(M'_X(t)=n p e^t(1-p+p e^t)^{\,n-1}\), então \(E[X]=M'_X(0)=n p=3\cdot0.4=1.2\).