Como se obtêm E(X) e Var(X) a partir da função geradora de momentos M_X(t)?

E(X)=M_X'(0) e Var(X)=M_X''(0)-[M_X'(0)]^2.

Explicação e exemplo:
Seja \(M_X(t)\) a função geradora de momentos. Calcule as derivadas primeiras e segundas e avalie em \(t=0\):

\(E(X)=M_X'(0)\)
\(Var(X)=M_X''(0)-[M_X'(0)]^2\)

Exemplo:
Considere \(M_X(t)=e^{3t+2t^2}\). Então:
\(M_X'(t)=(3+4t)e^{3t+2t^2}\)
\(M_X''(t)=[4+(3+4t)^2]e^{3t+2t^2}\)
Avaliando em \(t=0\): \(M_X'(0)=3\), \(M_X''(0)=13\).
Portanto, \(E(X)=3\) e \(Var(X)=13-3^2=4\).