Como se calcula a função geradora de momentos \(M_X(t)\) de uma variável contínua a partir da sua densidade \(f_X(x)\)?

M_X(t)=E(e^{tX})=\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}\,f_X(x)\,dx.

Aplica-se a definição integrando \(e^{tx}\) contra a densidade. Por exemplo, para X~Uniforme(a,b) com \(f_X(x)=\dfrac{1}{b-a}\) em (a,b):

\(M_X(t)=\int_{a}^{b} e^{tx}\dfrac{1}{b-a}\,dx=\dfrac{e^{bt}-e^{at}}{t(b-a)}\) para \(t\neq0\), e \(M_X(0)=1\) pelo limite.

Exemplo:
Se X~Uniforme(0,1):
\(M_X(t)=\int_{0}^{1} e^{tx}\,dx=\dfrac{e^{t}-1}{t}\) para \(t\neq0\), e \(M_X(0)=1\).