Qual a expressão do estimador não viesado da média populacional em amostragem estratificada e por que ele é não viesado?

\(\hat{\mu}=\dfrac{1}{N}\sum_{h=1}^H N_h\,\hat{\mu}_h=\sum_{h=1}^H W_h\,\hat{\mu}_h\), com \(W_h=\dfrac{N_h}{N}\).

Se cada \(\hat{\mu}_h\) é não viesado, isto é, \(E(\hat{\mu}_h)=\mu_h\), pela linearidade da esperança:
\(E(\hat{\mu})=\dfrac{1}{N}\sum_{h=1}^H N_h E(\hat{\mu}_h)=\dfrac{1}{N}\sum_{h=1}^H N_h\mu_h=\mu\).
Portanto, o estimador é não viesado porque pesa cada média estratificada segundo a representatividade do estrato na população.

População: \(N=1000\). Três estratos: \(N_1=200,\;N_2=300,\;N_3=500\). Suponha estimativas estratificadas \(\hat{\mu}_1=10,\;\hat{\mu}_2=12,\;\hat{\mu}_3=11\).

Cálculo:
\(\hat{\mu}=\dfrac{1}{1000}\big(200\cdot 10 + 300\cdot 12 + 500\cdot 11\big)\)
\(\hat{\mu}=\dfrac{2000+3600+5500}{1000}=\dfrac{11100}{1000}=11{,}1\).