Qual é a regra de alocação de Neyman e por que ela resulta na menor variância entre estratos?

n_h \(\propto\) N_h S_h: atribui mais unidades a estratos com maior peso e maior variabilidade, minimizando \(V_{str}=\sum W_h^2\frac{S_h^2}{n_h}\).

Exemplo:
Considere 2 estratos com \(N_1=800,\ N_2=200\) (portanto \(W_1=0{,}8,\ W_2=0{,}2\)), desvios \(S_1=10,\ S_2=30\) e \(n=100\).

Alocação de Neyman:
\(n_1=\dfrac{n\,N_1S_1}{N_1S_1+N_2S_2}=100\cdot\dfrac{800\cdot10}{800\cdot10+200\cdot30}=57{,}14\approx57\)
\(n_2=43\)
Variância estratificada: \(V_{ot}=\displaystyle\sum W_h^2\frac{S_h^2}{n_h}\)
\(V_{ot}=\dfrac{0{,}8^2\cdot10^2}{57}+\dfrac{0{,}2^2\cdot30^2}{43}\approx1{,}123+0{,}837=1{,}960\)

Alocação proporcional:
\(n_1=100\cdot\dfrac{800}{1000}=80,\ n_2=20\)
\(V_{pr}=\dfrac{0{,}8^2\cdot10^2}{80}+\dfrac{0{,}2^2\cdot30^2}{20}=0{,}8+1{,}8=2{,}6\)

Amostragem aleatória simples (com reposição):
estimando \(S^2\) por média ponderada: \(S^2=0{,}8\cdot100+0{,}2\cdot900=260\) então \(V_c=\dfrac{S^2}{n}=\dfrac{260}{100}=2{,}6\)

Logo: \(V_{ot}\approx1{,}96\le V_{pr}=2{,}6\le V_c=2{,}6\), mostrando a vantagem da alocação de Neyman.