Qual a expressão da variância do estimador da média estratificada em amostragem com reposição, em termos de N_i, N, σ_i^2 e n_i?

Var(\bar{X}) = \(\displaystyle \sum_{i=1}^h\left(\frac{N_i}{N}\right)^2\frac{\sigma_i^2}{n_i}\)

Explicação e exemplo:
Em amostragem com reposição não se aplica a correção de população finita. Cada estrato contribui com \(\left(\dfrac{N_i}{N}\right)^2\!\dfrac{\sigma_i^2}{n_i}\) para a variância total.

Exemplo:
Considere 3 estratos com \(N_1=200,\,N_2=300,\,N_3=500\) (total \(N=1000\)), desvios \(\sigma_1=5,\,\sigma_2=4,\,\sigma_3=6\) e amostra \(n=100\) com alocação proporcional: \(n_1=20,\,n_2=30,\,n_3=50\).
Calcule:
\( \text{Var}(\bar{X})=\left(\frac{200}{1000}\right)^2\frac{5^2}{20}+\left(\frac{300}{1000}\right)^2\frac{4^2}{30}+\left(\frac{500}{1000}\right)^2\frac{6^2}{50}\)
\(=0.04\cdot\frac{25}{20}+0.09\cdot\frac{16}{30}+0.25\cdot\frac{36}{50}\)
\(=0.05+0.048+0.18=0.278\).