Flashcard FC282359
Quando um estimador é não‑viesado e como se relaciona a variância de um estimador da forma \(a\bar{X}+b\) com \(Var(\bar{X})\)?
Característica dos Estimadores
VUNESP · 2024
Quando um estimador é não‑viesado e como se relaciona a variância de um estimador da forma \(a\bar{X}+b\) com \(Var(\bar{X})\)?
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Resposta
Um estimador é não‑viesado se \(E(\hat\theta)=\theta\).Para \(\hat\theta=a\bar{X}+b\):
\(E(\hat\theta)=aE(\bar{X})+b\), então é não‑viesado se \(aE(\bar{X})+b=\theta\) (frequentemente exige \(a=1\) e \(b=0\) quando \(E(\bar{X})=\theta\)).
\(Var(\hat\theta)=a^2Var(\bar{X})\) (a constante \(b\) não altera a variância).
Exemplo:
Suponha \(X_i\) i.i.d. com média \(\mu\) e variância \(\sigma^2\).
Se \(\hat\theta_1=3\bar{X}\) e \(\hat\theta_2=\bar{X}+2\):
\(E(\hat\theta_1)=3\mu\) → viesado; \(Var(\hat\theta_1)=9\frac{\sigma^2}{n}\).
\(E(\hat\theta_2)=\mu+2\) → viesado; \(Var(\hat\theta_2)=\frac{\sigma^2}{n}\).
Logo, ambos são viesados e \(Var(\hat\theta_1)=9\frac{\sigma^2}{n}> \frac{\sigma^2}{n}=Var(\hat\theta_2)\).
Veja como foi cobrado:
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