Qual condição os coeficientes de um estimador linear devem satisfazer para ser não viesado e como escolher esses coeficientes para minimizar a variância quando as observações são i

Os coeficientes devem somar 1; para minimizar a variância, escolha pesos proporcionais a \(1/\sigma_i^2\) e normalize-os.

Explicação:
Para \(\hat\mu=\sum_i a_i X_i\) temos \(E[\hat\mu]=\left(\sum_i a_i\right)\mu\). Assim, não viesado ⇔ \(\sum_i a_i=1\).
Com variâncias \(\sigma_i^2\) e independência, \(Var(\hat\mu)=\sum_i a_i^2\sigma_i^2\). Minimizar essa soma sujeita a \(\sum_i a_i=1\) via multiplicadores de Lagrange dá
\(a_i=\dfrac{1/\sigma_i^2}{\sum_j 1/\sigma_j^2}\).
O valor mínimo da variância é \(\displaystyle Var_{\min}=\frac{1}{\sum_j 1/\sigma_j^2}.\br>
Exemplo:
Três observações independentes com \(\sigma^2=(1,4,9)\). Calcule \(S=\sum 1/\sigma_i^2=1+1/4+1/9=1{,}361111\).
Pesos: \(a_1=\dfrac{1}{S}\approx0{,}7347,\; a_2=\dfrac{1/4}{S}\approx0{,}1837,\; a_3=\dfrac{1/9}{S}\approx0{,}0816.\)
Variância mínima: \(Var_{\min}=1/S\approx0{,}7347\).