Quais condições os coeficientes de um estimador linear devem satisfazer para ser não viesado e como se calcula sua variância quando as observações são independentes com variância \

Os coeficientes devem satisfazer as equações que tornam a esperança igual ao parâmetro (soma ponderada das médias = 1) e a variância é \( \sigma^2\) vezes a soma dos quadrados dos coeficientes.

Exemplo prático:
Se tivermos o estimador linear \(T=aU+bV+cW\) com \(U,V,W\) independentes e variância \(\sigma^2\), a condição de não viesamento é
\(E(T)=aE(U)+bE(V)+cE(W)=\mu\Rightarrow a+b+c=1\).
Então a variância é
\(Var(T)=\sigma^2(a^2+b^2+c^2)\).

Exemplo numérico: suponha \(\sigma^2=16\) e escolhemos \(a=\tfrac{1}{3},\,b=\tfrac{1}{2},\,c=\tfrac{1}{6}\) (note que \(a+b+c=1\)).
Calcula-se
\(a^2=\tfrac{1}{9},\;b^2=\tfrac{1}{4},\;c^2=\tfrac{1}{36}\).
Logo \(Var(T)=16\Big(\tfrac{1}{9}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{36}\Big)=16\Big(\tfrac{4+9+1}{36}\Big)=16\cdot\tfrac{14}{36}=\tfrac{224}{36}=\tfrac{56}{9}\).