Como obter as equações que garantem que um estimador linear de média seja não viesado e como escolher o mais eficiente entre estimadores não viesados?

Igualar a esperança a μ para obter condições sobre os coeficientes;
calcular as variâncias (usando independência) e o estimador com menor variância é o mais eficiente.

Explicação:
Para um estimador linear \(T=aX_1+bX_2\), a condição de não viesado é \(E(T)=a\mu+b\mu=(a+b)\mu=\mu\), logo \(a+b=1\).
Com observações independentes e \(\operatorname{Var}(X)=\sigma^2\), temos \(\operatorname{Var}(T)=(a^2+b^2)\sigma^2\).
Entre dois estimadores não viesados, compara-se \(\operatorname{Var}\) e escolhe-se o menor.

exemplo:
Considere \(T_1=0{,}6X_1+0{,}4X_2\) e \(T_2=0{,}2X_1+0{,}8X_2\) com \(\operatorname{Var}(X)=2\).
\(T_1\) é não viesado porque \(0{,}6+0{,}4=1\); \(T_2\) também: \(0{,}2+0{,}8=1\).
Calcule as variâncias:
\(\operatorname{Var}(T_1)=(0{,}6^2+0{,}4^2)\cdot2=(0{,}36+0{,}16)\cdot2=0{,}52\cdot2=1{,}04\).
\(\operatorname{Var}(T_2)=(0{,}2^2+0{,}8^2)\cdot2=(0{,}04+0{,}64)\cdot2=0{,}68\cdot2=1{,}36\).
Portanto, \(T_1\) é o mais eficiente (menor variância).