Quando a soma dos resíduos em uma regressão por MQO é zero?

Quando a regressão inclui uma constante (intercepto).

Na MQO, com resíduos \(e_i=y_i-\hat y_i=y_i-b_0-b_1x_i\), minimiza-se \(S=\sum e_i^2\). A condição de ótimo para \(b_0\) implica \(\frac{\partial S}{\partial b_0}=-2\sum e_i=0\Rightarrow\sum e_i=0\).
Equivalentemente, a reta ajustada passa pelos médios: \(\bar y=b_0+b_1\bar x\), então \(\sum e_i=n\bar y-n(b_0+b_1\bar x)=0\).
Sem o termo constante essa propriedade não vale em geral.

Exemplo:
Dados: \(x=\{1,2,3\},\;y=\{2,2,4\}\).
\(\bar x=2,\;\bar y=8/3.\)
\(b_1=\dfrac{\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum(x_i-\bar x)^2}=\dfrac{2}{2}=1,\quad b_0=\bar y-b_1\bar x=\tfrac{2}{3}.\)
\(\hat y=\{\tfrac{5}{3},\tfrac{8}{3},\tfrac{11}{3}\},\;e=\{\tfrac{1}{3},-\tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3}\},\;\sum e=0.\)