Flashcard FC282367
O que o método dos mínimos quadrados minimiza e qual é a solução explícita para as estimativas em um modelo linear?
Característica dos Estimadores
VUNESP · 2021
O que o método dos mínimos quadrados minimiza e qual é a solução explícita para as estimativas em um modelo linear?
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Resposta
Minimiza a soma dos quadrados dos resíduos; para o modelo linear \(\hat\beta=(X'X)^{-1}X'Y\) se \(X'X\) for invertível.Explicação:
O método busca os parâmetros \(\beta\) que minimizam \(S(\beta)=\sum_{i=1}^n (y_i - f(x_i;\beta))^2\).
No caso linear com matriz de desenho \(X\) e vetor resposta \(Y\), as equações normais são \(X'X\hat\beta=X'Y\).
Sob condições básicas (por exemplo, erros com média zero e variância finita), essa estimativa fornece a melhor aproximação em quadrados médios aos dados observados.
Exemplo:
Dados: \(x=(1,2,3)\), \(y=(2,3,5)\).
\(X=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\\1&3\end{pmatrix},\;Y=\begin{pmatrix}2\\3\\5\end{pmatrix}\)
\(X'X=\begin{pmatrix}3&6\\6&14\end{pmatrix},\;X'Y=\begin{pmatrix}10\\23\end{pmatrix}\)
\((X'X)^{-1}=\frac{1}{6}\begin{pmatrix}14&-6\\-6&3\end{pmatrix}\)
\(\hat\beta=(X'X)^{-1}X'Y=\begin{pmatrix}1/3\\3/2\end{pmatrix}\) ou seja \(\hat\beta_0\approx0{,}333,\;\hat\beta_1=1{,}5\).
Veja como foi cobrado:
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