Flashcard FC282369
Qual é o estimador de máxima verossimilhança de θ (taxa) em uma distribuição exponencial em função da média amostral?
Característica dos Estimadores
VUNESP · 2024
Qual é o estimador de máxima verossimilhança de θ (taxa) em uma distribuição exponencial em função da média amostral?
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Resposta
\(\hat\theta_{MLE}=\dfrac{1}{\overline{X}}\)Derivação curta:
Para amostra iid de uma exponencial, \(L(\theta)=\theta^n e^{-\theta\sum x_i}\), \(\ln L=n\ln\theta-\theta\sum x_i\).
Derivando: \(\dfrac{d}{d\theta}\ln L=\dfrac{n}{\theta}-\sum x_i=0\Rightarrow \hat\theta=\dfrac{n}{\sum x_i}=\dfrac{1}{\overline{X}}\).
Exemplo:
Suponha observações \(0{,}5,\ 1{,}1,\ 0{,}9,\ 1{,}3\).
\(\sum x_i=0{,}5+1{,}1+0{,}9+1{,}3=3{,}8\), \(n=4\).
\(\overline{X}=\dfrac{3{,}8}{4}=0{,}95\).
\(\hat\theta_{MLE}=\dfrac{1}{\overline{X}}=\dfrac{1}{0{,}95}\approx 1{,}0526\).
Veja como foi cobrado:
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