Como se obtém o estimador de máxima verossimilhança de uma função g(θ)?

Aplicando g ao MLE: o MLE de g(θ) é g(θ̂).

Princípio da invariância: se θ̂ maximiza a verossimilhança de θ, então g(θ̂) maximiza a verossimilhança para g(θ), independentemente de g ser linear.

Exemplo:
Considere uma amostra iid de Exp(λ) com densidade f(x;λ)=λ e^{-λ x}.
Verossimilhança: \(L(λ)=λ^{n}e^{-λ\sum_{i}x_i}\).
Log-verossimilhança: \(\ell(λ)=n\ln λ-λ\sum_{i}x_i\).
Derivando e igualando a zero: \(\frac{d\ell}{dλ}=\frac{n}{λ}-\sum_i x_i=0\Rightarrow \hat{λ}=\frac{n}{\sum_i x_i}=\frac{1}{\overline{X}}\).
Se \(g(λ)=\ln λ\), então o MLE de \(g(λ)\) é \(g(\hat{λ})=\ln\hat{λ}=\ln\!\left(\frac{1}{\overline{X}}\right)=-\ln\overline{X}\).