Flashcard FC282371
Como se obtém a função log-verossimilhança de uma amostra i.i.d. a partir da função de verossimilhança?
Característica dos Estimadores
VUNESP · 2024
Como se obtém a função log-verossimilhança de uma amostra i.i.d. a partir da função de verossimilhança?
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Resposta
Aplicando o logaritmo à verossimilhança: \(L(\theta;\mathbf{x})=\prod_{i=1}^n f(x_i;\theta)\) torna-se \(\ell(\theta;\mathbf{x})=\sum_{i=1}^n \ln f(x_i;\theta)\); fatores constantes viram \(n\ln(\text{constante})\).Detalhe:
Ao ter \(L(\theta;\mathbf{x})=\prod_{i=1}^n c\cdot g(x_i;\theta)\) com \(c\) constante em \(i\), separa-se \(c^n\) e depois aplica-se \(\ln\) usando \(\ln\prod=\sum\ln\) e \(\ln(c^n)=n\ln c\), o que facilita derivar e maximizar a log-verossimilhança.
Exemplo:
Considere \(X_1,\dots,X_n\) independentes com \(X_i\sim N(\mu,\sigma^2)\) e \(\sigma^2\) conhecida. A densidade é \(f(x;\mu)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}\).
Então
\(L(\mu;\mathbf{x})=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right)^n \exp\!\Big(-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2\Big)\).
Aplicando \(\ln\):
\(\ell(\mu;\mathbf{x})=n\ln\!\Big(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\Big)-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2\),
o que mostra claramente a separação do termo constante e transforma o produto em soma para facilitar a maximização.
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/281644
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