Quando o estimador de máxima verossimilhança coincide com o estimador pelo método dos momentos para um parâmetro escalar?

Resposta

Quando as equações que definem o EMV e o MM reduzem-se à mesma expressão para o parâmetro — isto ocorre tipicamente se o parâmetro se relaciona diretamente a um momento amostral (por exemplo, a média).

Explicação:
Se a função log-verossimilhança, ao ser derivada e igualada a zero, fornece uma equação que é algebraicamente equivalente à equação do método dos momentos (igualando um momento teórico ao momento amostral), então EMV = MM.

Exemplo:
Considere amostra i.i.d. de uma Exponencial com parâmetro de taxa \( \lambda>0 \), densidade \(f(x|\lambda)=\lambda e^{-\lambda x},\; x\ge0.\)

EMV:
\(L(\lambda)=\prod_{i=1}^n \lambda e^{-\lambda x_i}=\lambda^n e^{-\lambda\sum_i x_i}\),
\(\ell(\lambda)=n\ln\lambda-\lambda\sum_i x_i\).
Derivando: \(\dfrac{d\ell}{d\lambda}=\dfrac{n}{\lambda}-\sum_i x_i=0\Rightarrow \hat\lambda_{EMV}=\dfrac{n}{\sum_{i=1}^n x_i}.\)

MM:
\(E[X]=1/\lambda\). Igualando ao momento amostral \(\bar X=\dfrac{1}{n}\sum_i x_i\):
\(\dfrac{1}{\lambda}=\bar X\Rightarrow \hat\lambda_{MM}=\dfrac{1}{\bar X}=\dfrac{n}{\sum_{i=1}^n x_i}.\)

Portanto, neste caso EMV = MM.