Flashcard FC282373
Quais são as propriedades assintóticas do estimador de máxima verossimilhança que garantem sua eficiência quando n é grande?
Característica dos Estimadores
VUNESP · 2024
Quais são as propriedades assintóticas do estimador de máxima verossimilhança que garantem sua eficiência quando n é grande?
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Resposta
Assintoticamente não tendencioso e assintoticamente normal, com variância aproximada igual a \([nI(\theta)]^{-1}\), atingindo o limite de Cramér–Rao para n grande.Explicação:
Sob condições regulares, \(\hat\theta_{MLE}\overset{p}{\to}\theta\) (viés tende a zero) e \(\hat\theta_{MLE}\overset{d}{\approx}N\!\left(\theta,\,[nI(\theta)]^{-1}\right)\).
Assim, para amostras grandes o MLE concentra-se em torno do valor verdadeiro e sua variância é a menor possível entre estimadores regulares (assintoticamente eficiente).
Exemplo:
Considere \(X_1,\dots,X_n\) i.i.d. Exp(\(\lambda\)) com densidade \(f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\) para \(x\ge0\).
O MLE é \(\hat\lambda=\dfrac{1}{\bar X}\).
A informação de Fisher por observação é \(I(\lambda)=1/\lambda^2\), então
\(\hat\lambda\overset{d}{\approx}N\!\left(\lambda,\;\dfrac{\lambda^2}{n}\right)\) para grande n.
Portanto, para n grande, \(\hat\lambda\) tem viés ≈ 0 e variância ≈ \(\lambda^2/n\), que é o menor limite assintótico.
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