Flashcard FC282375
Como se obtém a log-verossimilhança para uma amostra independente e identicamente distribuída a partir da função de densidade?
Característica dos Estimadores
VUNESP · 2023
Como se obtém a log-verossimilhança para uma amostra independente e identicamente distribuída a partir da função de densidade?
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Resposta
Para n observações independentes, \( \ell(\theta)=\ln L(\theta)=\sum_{i=1}^n \ln f(x_i;\theta)=\ln\prod_{i=1}^n f(x_i;\theta).\)Explicação:
Para observações IID, a função de verossimilhança é o produto das densidades: \(L(\theta)=\prod_{i=1}^n f(x_i;\theta)\).
Aplicando logaritmo natural transforma produto em soma, facilitando derivadas e otimização: \(\ell(\theta)=\ln L(\theta)=\sum_{i=1}^n \ln f(x_i;\theta)\).
Exemplo: considere amostra de tamanho \(n=3\) de uma Poisson(\(\lambda\)) com observações \(x=(2,0,1)\).
PMF: \(P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}\).
Verossimilhança: \(L(\lambda)=\prod_{i=1}^3 e^{-\lambda}\frac{\lambda^{x_i}}{x_i!}=e^{-3\lambda}\frac{\lambda^{\sum x_i}}{\prod x_i!}=e^{-3\lambda}\frac{\lambda^{3}}{2!\,0!\,1!}.\)
Log-verossimilhança: \(\ell(\lambda)=-3\lambda+(\sum_{i=1}^3 x_i)\ln\lambda-\sum_{i=1}^3\ln(x_i!)=-3\lambda+3\ln\lambda-\ln(2!).\)
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/281648
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