Flashcard FC282376
Em que condição os estimadores pelo método dos momentos coincidem com os estimadores de máxima verossimilhança?
Característica dos Estimadores
VUNESP · 2023
Em que condição os estimadores pelo método dos momentos coincidem com os estimadores de máxima verossimilhança?
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Resposta
Quando as equações da máxima verossimilhança se reduzem às equações dos momentos — isto é, quando as equações normais do MLE são equivalentes às equações dos momentos amostrais (frequente em famílias exponenciais com estatísticas suficientes iguais a momentos).Explicação:
Isso ocorre quando a derivada (score) da log-verossimilhança em relação aos parâmetros produz igualdades que igualam momentos teóricos aos momentos amostrais, levando às mesmas soluções para os parâmetros.
exemplo: Considere X₁,...,X_n i.i.d. Exponencial(λ).
— Método dos momentos: \(E[X]=1/λ\) ⇒ \(\hat λ_{MM}=1/\bar X\).
— MLE: \( \ell(λ)=n\ln λ-λ\sum_{i}X_i\). Derivando: \( \frac{d\ell}{dλ}=\frac{n}{λ}-\sum_i X_i=0\) ⇒ \(\hat λ_{MLE}=\dfrac{n}{\sum_i X_i}=1/\bar X\).
Assim, ambos os métodos produzem o mesmo estimador \( \hat λ=1/\bar X\).
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