Flashcard FC282377
Quais propriedades assintóticas, sob condições regulares, tornam o estimador de máxima verossimilhança aproximadamente não viciado e eficiente quando n é grande?
Característica dos Estimadores
VUNESP · 2023
Quais propriedades assintóticas, sob condições regulares, tornam o estimador de máxima verossimilhança aproximadamente não viciado e eficiente quando n é grande?
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Resposta
Consistência, normalidade assintótica e eficiência assintótica: \( \sqrt{n}(\hat\theta_{MLE}-\theta)\overset{d}{\to}N(0,I^{-1}(\theta))\), então \(E[\hat\theta_{MLE}]\approx\theta\) e \(\mathrm{Var}(\hat\theta_{MLE})\approx I^{-1}(\theta)/n\).Explicação e exemplo:
As condições regulares incluem identificabilidade, diferenciabilidade da verossimilhança, permutações de derivada e integral e informação de Fisher finita e positiva.
Under essas condições, o MLE é consistente (converge em probabilidade para θ) e assintoticamente normal, o que implica aproximada falta de viés e variância mínima em ordem \(1/n\).
Exemplo (Poisson):
Suponha \(X_1,\dots,X_n\) i.i.d. Poisson(\(\lambda\)). A verossimilhança é \(L(\lambda)\propto e^{-n\lambda}\lambda^{\sum x_i}\).
Log-verossimilhança: \(\ell(\lambda) = -n\lambda + (\sum x_i)\ln\lambda + \text{const}\).
Derivando e igualando a zero: \(\hat\lambda_{MLE}=\bar X\).
A informação de Fisher por observação é \(I_1(\lambda)=1/\lambda\), logo \(I(\lambda)=n/\lambda\).
Assim, assintoticamente \(\sqrt{n}(\hat\lambda-\lambda)\overset{d}{\to}N(0,\lambda)\) e \(\mathrm{Var}(\hat\lambda)\approx\lambda/n\), que coincide com o limite de Cramér–Rao, mostrando a eficiência assintótica do MLE neste caso.
Veja como foi cobrado:
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