Flashcard FC282378
Como se obtém o estimador de máxima verossimilhança quando o parâmetro é sujeito a uma restrição (por exemplo, uma desigualdade)?
Característica dos Estimadores
VUNESP · 2022
Como se obtém o estimador de máxima verossimilhança quando o parâmetro é sujeito a uma restrição (por exemplo, uma desigualdade)?
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Resposta
Se o EMV não restrito satisfaz a restrição, usa-se ele; caso contrário, o EMV é o ponto da fronteira admissível que maximiza a verossimilhança.A ideia é maximizar a verossimilhança somente sobre o conjunto permitido.
Quando a log-verossimilhança é concava, a solução é o ponto crítico interno (o EMV não restrito) se ele estiver no conjunto; senão a solução é um ponto da fronteira que fornece o maior valor da verossimilhança.
Exemplo:
Considere X1,...,Xn i.i.d. N(μ,1) com restrição μ ≥ 0.
A log-verossimilhança (ignorando constantes) é \( \ell(\mu) = -\tfrac{1}{2}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2 \).
Derivando e igualando a zero: \( \frac{d\ell}{d\mu} = \sum_{i=1}^n (X_i-\mu)=0 \Rightarrow \hat\mu_{un}=\bar X \).
Aplicando a restrição: \( \hat\mu = \max\{0,\bar X\} \).
Exemplo numérico: se \(n=10\) e \(\bar X=-1.2\), então \(\hat\mu=0\).
Se \(\bar X=2.3\), então \(\hat\mu=2.3\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/281651
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