Flashcard FC282381
O estimador de máxima verossimilhança para a variância em uma Normal é viesado para amostras finitas e consistente quando \(n\to\infty\)? Por quê?
Característica dos Estimadores
VUNESP · 2020
O estimador de máxima verossimilhança para a variância em uma Normal é viesado para amostras finitas e consistente quando \(n\to\infty\)? Por quê?
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Resposta
Sim.Explicação:
O estimador de máxima verossimilhança da variância é \( \hat\sigma^2_{MLE}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)^2\).
Tem-se \(E[\hat\sigma^2_{MLE}]=\frac{n-1}{n}\sigma^2\), logo é viesado para amostras finitas (subestima \(\sigma^2\)).
Contudo, como \(\frac{n-1}{n}\to1\) e \(\mathrm{Var}(\hat\sigma^2_{MLE})\propto 1/n\to0\) quando \(n\to\infty\), o viés e a variância vão a zero, implicando convergência em probabilidade para \(\sigma^2\) (consistência).
Exemplo:
Considere \(\sigma^2=9\). Para \(n=4\):
\(E[\hat\sigma^2_{MLE}]=\frac{4-1}{4}\cdot9=\tfrac{3}{4}\cdot9=6{,}75\) (viesado).
Para \(n=100\):
\(E[\hat\sigma^2_{MLE}]=\frac{99}{100}\cdot9=8{,}91\) (muito próximo de 9).
Assim, embora viesado para pequenos \(n\), o estimador torna-se praticamente não viesado e converge para \(\sigma^2\) quando \(n\) aumenta.
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/281654
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