Por que o método dos momentos pode gerar mais de um estimador para o mesmo parâmetro?

Porque igualar momentos amostrais distintos aos momentos teóricos pode produzir equações diferentes em função do parâmetro, algumas com múltiplas raízes, gerando estimadores distintos.

Explicação:
O método dos momentos consiste em igualar os momentos amostrais \(m_k\) aos momentos teóricos \(E(X^k)\).
Se o primeiro momento leva a uma equação simples (p.ex. linear) obtém-se um estimador diretamente, enquanto igualar um momento de ordem superior pode gerar uma equação polinomial em que existem várias soluções; escolhe‑se a solução adequada (por exemplo, a raiz positiva).

Exemplo:
Considere um modelo com parâmetro \(\theta\) tal que \(E(X)=\theta\) e \(E(X^2)=\theta^2+2\theta\).
Igualando o primeiro momento: \(\hat{\theta}_1=\bar{X}\).
Igualando o segundo momento: \(\theta^2+2\theta-m_2=0\), cuja solução positiva é \(\displaystyle \hat{\theta}_2=\frac{-2+\sqrt{4+4\,m_2}}{2}=-1+\sqrt{1+m_2}\).
Por exemplo, se \(m_2=10\), então \(\hat{\theta}_2=-1+\sqrt{11}\approx2{,}316\), distinto de \(\hat{\theta}_1\) se \(\bar X\neq2{,}316\).