Flashcard FC282385
O que define um estimador eficiente e qual é sua relação com o viés?
Característica dos Estimadores
VUNESP · 2022
O que define um estimador eficiente e qual é sua relação com o viés?
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Resposta
Um estimador eficiente é necessariamente não viciado; é aquele que, entre os estimadores com expectativa igual ao parâmetro, possui a menor variância possível.Matematicamente: \(E[\hat\theta]=\theta\) e \(\mathrm{Var}(\hat\theta)=\inf_{\tilde\theta:\,E[\tilde\theta]=\theta}\mathrm{Var}(\tilde\theta)\).
Exemplo:
Considere \(X_1,\dots,X_n\) i.i.d. \(N(\mu,\sigma^2)\) com \(\sigma^2\) conhecida. A média amostral \(\bar X\) tem
\(E[\bar X]=\mu\) e \(\mathrm{Var}(\bar X)=\sigma^2/n\).
A informação de Fisher para \(\mu\) é \(I(\mu)=n/\sigma^2\), logo o limite de Cramér–Rao é \(1/I(\mu)=\sigma^2/n\).
Como \(\mathrm{Var}(\bar X)=\sigma^2/n\) atinge esse limite, \(\bar X\) é eficiente e, por isso, não viciada.
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