Flashcard FC282386
Qual família de priori é conjugada para o parâmetro de média em uma amostra Poisson e como seus hiperparâmetros se atualizam?
Característica dos Estimadores
VUNESP · 2022
Qual família de priori é conjugada para o parâmetro de média em uma amostra Poisson e como seus hiperparâmetros se atualizam?
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Resposta
Gama. Atualização: \( \alpha'=\alpha+\sum_{i=1}^n x_i,\ \beta'=\beta+n.\)Explicação:
A verossimilhança de uma amostra Poisson satisfaz \(L(\theta)\propto \theta^{\sum x_i}e^{-n\theta}\).
Tomando a priori \( \theta\sim\mathrm{Gama}(\alpha,\beta)\) com densidade \(\propto \theta^{\alpha-1}e^{-\beta\theta}\), a posteriori fica
\(\propto \theta^{\alpha-1+\sum x_i}e^{-(\beta+n)\theta}\), ou seja, \(\theta\mid \text{dados}\sim\mathrm{Gama}(\alpha+\sum x_i,\;\beta+n)\).
Exemplo:
Suponha que se observaram contagens \(x=(2,3,0,1,4)\), então \(n=5\) e \(\sum x_i=10\).
Com priori \(\mathrm{Gama}(\alpha=2,\beta=1)\), a posteriori é
\(\theta\mid x \sim \mathrm{Gama}(\alpha'=2+10=12,\ \beta'=1+5=6).\)
A média a posteriori vale \(\mathbb{E}[\theta\mid x]=\alpha'/\beta' = 12/6 = 2.\)
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/281659
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