Se a priori de θ é Pareto com limite inferior a e parâmetro b, e os dados são i.i.d. Uniform(0,θ) com máximo amostral X_(n), qual é a forma da posterior e qual o estimador de Bayes

Posterior: é Pareto com parâmetro b+n e limite inferior m = max{a, X_(n)}.
Estimador de Bayes (quadrática): \( \mathbb{E}[\theta\mid \text{dados}] = \dfrac{b+n}{b+n-1}\,m.\)

Explicação e exemplo:
Ao observar uma amostra de tamanho n de Uniform(0,θ), a verossimilhança envolve o máximo amostral, levando a posterior proporcional a \( \theta^{-(b+n+1)}\) para \(\theta>m\), ou seja, Pareto com forma atualizada b+n e limite m.

Exemplo:
Considere prior Pareto com \(a=5\) e \(b=3\). Suponha \(n=4\) e máximo amostral \(X_{(n)}=8\). Então
\(m=\max\{5,8\}=8\).
Parâmetro posterior: \(b+n=3+4=7\).
Estimador Bayes (média posterior): \(\displaystyle \mathbb{E}[\theta\mid \text{dados}]=\frac{7}{7-1}\cdot 8=\frac{7}{6}\cdot 8=\frac{56}{6}=\frac{28}{3}\approx 9{,}33.\)