Flashcard FC282388
Se T é estatística suficiente e completa e S é um estimador não viciado de θ, qual estimador baseado em T é o ENVVUM?
Característica dos Estimadores
VUNESP · 2023
Se T é estatística suficiente e completa e S é um estimador não viciado de θ, qual estimador baseado em T é o ENVVUM?
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Resposta
\(\hat{θ}=E(S\mid T)\), que é não viciado, tem variância ≤ Var(S) e é único entre estimadores função de T.Explicação:
Por hipótese, \(E(S)=θ\). Pela lei da esperança total, \(E(E(S\mid T))=E(S)=θ\), logo \(\;E(S\mid T)\;\) é não viciado.
Pela Rao–Blackwell, condicionar em T não aumenta a variância: \(Var(E(S\mid T))\le Var(S)\), garantindo redução (ou igualdade) da variância.
A completude de T assegura que qualquer outro estimador não viciado e mensurável em T coincide com \(E(S\mid T)\), tornando-o o estimador não viciado de variância uniformemente mínima (ENVVUM).
Exemplo:
Considere \(X_1,\dots,X_n\) i.i.d. ~ Poisson(\(θ\)).
Tomemos \(S=X_1\), então \(E(S)=θ\) (S é não viciado). A soma \(T=\sum_{i=1}^n X_i\) é estatística suficiente e completa para \(θ\).
Pela propriedade condicional da Poisson, \(E(X_1\mid T)=T/n\). Assim
\( \hat{θ}=E(S\mid T)=\dfrac{T}{n} \),
que é o ENVVUM de \(θ\) (a média amostral), pois é não viciado e resulta da Rao–Blackwellização sobre uma estatística suficiente e completa.
Veja como foi cobrado:
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