Se quisermos reduzir o erro padrão em k vezes mantendo o mesmo nível de confiança, como deve mudar o tamanho da amostra?

Resposta

Multiplicar o tamanho da amostra por k², ou seja, \(n' = k^{2}n\).

Explicação:
O erro padrão é \(SE=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\). Desejando \(SE'=\dfrac{SE}{k}\), temos \(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n'}}=\dfrac{1}{k}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\).
Cancelando \(\sigma\) e isolando \(n'\): \(\sqrt{n'}=k\sqrt{n}\Rightarrow n'=k^{2}n\).

Exemplo:
Suponha \(n=49\) e queremos reduzir o erro padrão para \(\dfrac{1}{3}\) do original (\(k=3\)).
\(n'=3^{2}\times49=9\times49=441\).
Verificação:
\(SE=\dfrac{\sigma}{\sqrt{49}}=\dfrac{\sigma}{7}\).
Desejado: \(SE'=\dfrac{SE}{3}=\dfrac{\sigma}{21}\).
Com \(n'=441\), \(SE'=\dfrac{\sigma}{\sqrt{441}}=\dfrac{\sigma}{21}\), conforme esperado.