Qual pivô deve ser usado e qual o intervalo de confiança de nível 1−γ para 1/α em termos da soma S quando X_i ~ i.i.d. Expon(α)?

Pivô: 2αS ~ χ²_{2n}.
IC (nível 1−γ) para 1/α: \( \displaystyle \left[\frac{2S}{\chi^2_{2n,1-\gamma/2}}\;;\;\frac{2S}{\chi^2_{2n,\gamma/2}}\right]\).

Como se obtém:
De S = ∑X_i segue Gamma(n,α), então \(2\alpha S\sim\chi^2_{2n}\).
Portanto
\(P\big(\chi^2_{2n,\gamma/2}\le 2\alpha S\le\chi^2_{2n,1-\gamma/2}\big)=1-\gamma\),
resolvendo para \(1/\alpha\) chega-se ao intervalo acima.

Exemplo:
Suponha n=10 e observou-se S=8 (logo \(\overline{X}=0{,}8\)). Para 95% (γ=0{,}05) temos df=20. Defina \(q_1=\chi^2_{20,0{,}975}\) e \(q_2=\chi^2_{20,0{,}025}\).
Então
\( \text{IC}_{0.95}(1/\alpha)=\left[\frac{2\cdot 8}{q_1}\;;\;\frac{2\cdot 8}{q_2}\right]=\left[\frac{16}{q_1}\;;\;\frac{16}{q_2}\right].\)
Consultando a tabela de qui‑quadrado obtém‑se \(q_1,q_2\) e calcula‑se os limites.