Como determinar o tamanho da amostra n e o limiar k para que os erros Tipo I e Tipo II sejam ambos iguais a α em um teste que rejeita H0 quando \bar X > k, com variâncias conhecida

Resposta: Igualando as duas condições: \(k=\mu_0+z_\alpha\frac{\sigma_0}{\sqrt n}\) e \(k=\mu_1-z_\alpha\frac{\sigma_1}{\sqrt n}\), daí \(\sqrt n=\dfrac{z_\alpha(\sigma_0+\sigma_1)}{\mu_1-\mu_0}\) e \(n=\left(\dfrac{z_\alpha(\sigma_0+\sigma_1)}{\mu_1-\mu_0}\right)^2\).

Explicação e exemplo:
Partimos de Erro Tipo I: \(P_{H_0}(\bar X>k)=\alpha\Rightarrow \dfrac{k-\mu_0}{\sigma_0/\sqrt n}=z_\alpha\), e de Erro Tipo II: \(P_{H_1}(\bar X\le k)=\alpha\Rightarrow \dfrac{k-\mu_1}{\sigma_1/\sqrt n}=-z_\alpha\).
Igualando as duas expressões para k: \(\mu_0+z_\alpha\frac{\sigma_0}{\sqrt n}=\mu_1-z_\alpha\frac{\sigma_1}{\sqrt n}\).
Isolando \(\sqrt n\) obtemos a fórmula acima para n.

Exemplo:
Considere \(\mu_0=50,\ \sigma_0=4,\ \mu_1=55,\ \sigma_1=5,\ \alpha=0{,}05\) (portanto \(z_\alpha\approx1{,}64\)).
Calcule
\(\displaystyle \sqrt n=\frac{1{,}64(4+5)}{55-50}=\frac{1{,}64\cdot9}{5}=2{,}952\),
\(\Rightarrow n\approx(2{,}952)^2\approx8{,}71\), escolher \(n=9\).
O limiar fica, por exemplo,
\(k=\mu_0+z_\alpha\frac{\sigma_0}{\sqrt n}=50+1{,}64\frac{4}{\sqrt9}=50+1{,}64\cdot\frac{4}{3}\approx52{,}19\).