Flashcard FC282449
Em um teste de proporão unilateral à direita, como se expressa o erro tipo II em termos de \(\hat p\) e do ponto crítico \(c\)?
Testes de Hipóteses
VUNESP · 2024
Em um teste de proporão unilateral à direita, como se expressa o erro tipo II em termos de \(\hat p\) e do ponto crítico \(c\)?
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Resposta
É a probabilidade de não rejeitar \(H_0\) quando \(H_1\) é verdadeira: \(\beta(p)=P(\hat pp_0\).Explicação:
Em um teste unilateral à direita com hipótese nula \(p=p_0\) e região de rejeição \(\{\hat p\ge c\}\), o nível \(\alpha\) fixa \(c\) por \(P(\hat p\ge c\mid p_0)=\alpha\).
Para qualquer verdadeiro valor \(p>p_0\) na alternativa, o erro tipo II é
\(\beta(p)=P(\hat p\).
Se usarmos aproximação normal para \(\hat p\) (grande \(n\)): \(\hat p\approx N\big(p,\;p(1-p)/n\big)\), então
\(\displaystyle \beta(p)=\Phi\!\left(\frac{c-p}{\sqrt{p(1-p)/n}}\right)\), onde \(\Phi\) é a CDF normal padrão.
Exemplo:
Suponha \(p_0=0{,}10\), \(n=100\), \(\alpha=0{,}05\). Para achar \(c\):
\(\displaystyle c=p_0+z_{0{,}95}\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}=0{,}10+1{,}645\cdot\sqrt{\dfrac{0{,}1\cdot0{,}9}{100}}\)
\(\displaystyle \sqrt{\dfrac{0{,}09}{100}}=0{,}03\Rightarrow c\approx0{,}10+1{,}645\cdot0{,}03\approx0{,}1494.\)
Para \(p=0{,}15\):
\(\displaystyle \beta(0{,}15)=\Phi\!\left(\dfrac{0{,}1494-0{,}15}{\sqrt{0{,}15\cdot0{,}85/100}}\right)\), onde \(\sqrt{0{,}15\cdot0{,}85/100}\approx0{,}0357\).
\(\displaystyle z\approx\dfrac{-0{,}0006}{0{,}0357}\approx-0{,}018\Rightarrow \beta(0{,}15)\approx0{,}49.\)
Isto mostra que, mesmo com \(p\) ligeiramente acima de \(p_0\), a probabilidade de não rejeitar \(H_0\) pode ser alta.
Veja como foi cobrado:
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