Quando X é normal e σ é desconhecido, qual a distribuição de \( (\overline{X}-\mu)/(S/\sqrt{n})\) e quantos graus de liberdade ela possui?

t de Student com \(n-1\) graus de liberdade.

Explicação:
O numerador é normal porque \(\overline{X}\) é média de uma amostra de uma normal.
O denominador envolve \(S\), cuja construção está relacionada a uma qui-quadrado sobre as variâncias amostrais.
Combinar uma normal padrão com a raiz de uma qui-quadrado dividida pelos graus de liberdade produz a t de Student.
Como \(S^2\) é calculada usando \(\overline{X}\), perdemos 1 grau de liberdade, logo \(df=n-1\).

Exemplo:
Suponha \(n=6\), \(\overline{X}=52\), \(S=3\) e teste contra \(\mu=50\).
\(t=\dfrac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}=\dfrac{52-50}{3/\sqrt{6}}=\dfrac{2}{3/ \sqrt{6}}\approx\dfrac{2}{1{.}2247}\approx1{.}633\).
Como \(n-1=5\), essa estatística segue a distribuição \(t_5\).