Como se calculam as frequências esperadas e o estatístico χ² em um teste de independência para uma tabela 2×2?

E_{ij} = (total da linha_i × total da coluna_j) / n; e \(χ^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E}\), com df=(r−1)(c−1); compare com o valor crítico ou p‑value.

Explicação e exemplo
1) Calcule as marginais e n.
2) Para cada célula: \(E_{ij}=\dfrac{(\text{total da linha}_i)(\text{total da coluna}_j)}{n}\).
3) Calcule \(χ^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E}\).
4) Grau de liberdade para 2×2: df=1; compare com \(χ^2_{crit}\) ou use p‑value.

Exemplo:
Tabela (n=100):
Tratamento A: Sucesso=30, Fracasso=20 (total A=50).
Tratamento B: Sucesso=20, Fracasso=30 (total B=50).
Colunas: Sucesso=50, Fracasso=50.
Esperados: \(E=\dfrac{50\times50}{100}=25\) em cada célula.
Cálculo: \(χ^2=\dfrac{(30-25)^2}{25}+\dfrac{(20-25)^2}{25}+\dfrac{(20-25)^2}{25}+\dfrac{(30-25)^2}{25}\)
\(= \dfrac{25}{25}+\dfrac{25}{25}+\dfrac{25}{25}+\dfrac{25}{25}=4\).
Com df=1, \(χ^2_{0{,}05}=3{,}84\). Como \(4>3{,}84\), rejeita‑se independência → existe associação.