Flashcard FC282520
O que significa um modelo ser linear nos parâmetros?
Regressão
VUNESP · 2024
O que significa um modelo ser linear nos parâmetros?
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Resposta
Significa que cada parâmetro aparece apenas multiplicando uma função conhecida de x e não é transformado ou multiplicado por outro parâmetro.Explicação e exemplo:
Um modelo é linear nos parâmetros se pode ser escrito como \(y=X\theta+\varepsilon\), onde as colunas de \(X\) são funções conhecidas de \(x\) (por exemplo \(1,\sin(x),e^{x}\)) e os parâmetros \(\theta\) aparecem apenas de forma linear. Assim é possível usar estimadores clássicos como MQO: \(\hat\theta=(X'X)^{-1}X'y\).
Exemplo:
Considere \(y=\theta_1+\theta_2\sin(x)+\varepsilon\). Para \(x=(0,\pi/2)\) e observações \(y=(2,5)\):
\(X=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix},\; y=\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}\).
\(X'X=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix},\;(X'X)^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\).
\(\hat\theta=(X'X)^{-1}X'y=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\).
Logo, \(\theta_1=2\) e \(\theta_2=3\), mostrando que o modelo é linear nos parâmetros e permite aplicar MQO.
Veja como foi cobrado:
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