Como se calcula \(\hat\beta_1\) no modelo de regressão linear simples pelo método dos mínimos quadrados?

Usa-se a fórmula dos mínimos quadrados:
\( \hat\beta_1 = \dfrac{\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum (x_i-\bar x)^2}.\)

Passo a passo e exemplo:
Calcule \(\bar x\) e \(\bar y\), obtenha \(x_i-\bar x\) e \(y_i-\bar y\), some os produtos para o numerador e os quadrados de \(x_i-\bar x\) para o denominador, e aplique a fórmula.
Exemplo: pares \((1,2),(2,3),(4,6)\).
\(\bar x=\tfrac{1+2+4}{3}=\tfrac{7}{3},\quad \bar y=\tfrac{2+3+6}{3}=\tfrac{11}{3}.\)
\(x_i-\bar x=\{-\tfrac{4}{3},-\tfrac{1}{3},\tfrac{5}{3}\},\quad y_i-\bar y=\{-\tfrac{5}{3},-\tfrac{2}{3},\tfrac{7}{3}\}.\)
Numerador: \(\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)=\tfrac{20}{9}+\tfrac{2}{9}+\tfrac{35}{9}=\tfrac{57}{9}=\tfrac{19}{3}.\)
Denominador: \(\sum (x_i-\bar x)^2=\tfrac{16}{9}+\tfrac{1}{9}+\tfrac{25}{9}=\tfrac{42}{9}=\tfrac{14}{3}.\)
Logo \(\hat\beta_1=\dfrac{19/3}{14/3}=\dfrac{19}{14}\approx1{,}3571.\)