Flashcard FC282522
Qual é o coeficiente angular ao regredir, por MQO, os resíduos de uma regressão (com intercepto) pela variável explicativa?
Regressão
VUNESP · 2023
Qual é o coeficiente angular ao regredir, por MQO, os resíduos de uma regressão (com intercepto) pela variável explicativa?
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Resposta
Zero.Explicação:
Pelasequações normais da MQO com intercepto, os resíduos satisfazem \(\sum_i r_i x_i=0\), o que implica \(\text{Cov}(R,X)=0\).
O coeficiente angular da regressão de \(R\) por \(X\) é \(\displaystyle \beta=\frac{\text{Cov}(R,X)}{\text{Var}(X)}\).
Portanto \(\beta=0\) e a reta ajustada é horizontal.
Exemplo:
Considere \(X=(1,2,3)\) e \(Y=(2,3,5)\).
\( \bar X=2,\ \bar Y=\tfrac{10}{3}.\)
\(S_{XY}=\sum (x_i-\bar X)(y_i-\bar Y)=\tfrac{4}{3}+0+\tfrac{5}{3}=3.\)
\(S_{XX}=2\Rightarrow \hat\beta_1=\tfrac{3}{2},\ \hat\beta_0=\bar Y-\hat\beta_1\bar X=\tfrac{1}{3}.\)
Resíduos: \(r=(\tfrac{1}{6},-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{6})\), com \(\sum r_i(x_i-\bar X)=(-1)\tfrac{1}{6}+0+1\cdot\tfrac{1}{6}=0.\)
Assim \(\displaystyle \hat\beta=\frac{\sum (x_i-\bar X)r_i}{\sum (x_i-\bar X)^2}=0.\)
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