Flashcard FC282527
Em regressão linear simples com intercepto, qual propriedade relaciona a soma dos resíduos e as somas das observações e das predições?
Regressão
VUNESP · 2022
Em regressão linear simples com intercepto, qual propriedade relaciona a soma dos resíduos e as somas das observações e das predições?
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Resposta
Resposta: A soma dos resíduos é zero, logo \(\sum e_i=0\) e \(\sum y_i=\sum \hat y_i\).Explicação:
Ao minimizar a soma dos quadrados dos resíduos, a derivada em relação a \(\beta_0\) leva à condição \(\sum (y_i - \hat y_i)=0\).
Portanto \(\sum e_i=\sum (y_i-\hat y_i)=0\Rightarrow \sum y_i=\sum \hat y_i\).
Exemplo:
Considere dados: \(x=(1,2,3,4)\), \(y=(2,4,5,7)\).
Médias: \(\bar x=2.5,\ \bar y=4.5\).
Coeficiente angular: \(\hat\beta_1=\dfrac{\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum (x_i-\bar x)^2}=\dfrac{8}{5}=1.6\).
Intercepto: \(\hat\beta_0=\bar y-\hat\beta_1\bar x=4.5-1.6\cdot2.5=0.5\).
Predições: \(\hat y=(2.1,3.7,5.3,6.9)\).
Soma das observações: \(\sum y_i=18\).
Soma das predições: \(\sum \hat y_i=2.1+3.7+5.3+6.9=18\).
Logo, confirma-se que \(\sum y_i=\sum \hat y_i\).
Veja como foi cobrado:
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