Flashcard FC282528
Como estimar os parâmetros α e β do modelo Y = α e^{βX} usando mínimos quadrados após transformação logarítmica?
Regressão
VUNESP · 2021
Como estimar os parâmetros α e β do modelo Y = α e^{βX} usando mínimos quadrados após transformação logarítmica?
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Resposta
Transforme \(Z=\ln(Y)\) e ajuste por MQO o modelo linear \(Z=a+\beta X\):\(\displaystyle \hat\beta=\frac{\sum x_i z_i-\frac{1}{n}\sum x_i\sum z_i}{\sum x_i^2-\frac{1}{n}(\sum x_i)^2}\),
\(\displaystyle \hat a=\bar z-\hat\beta\bar x\) e \(\hat\alpha=e^{\hat a}\).
exemplo:
Considere \(X=\{1,2,3,4\}\), \(Y=\{3,5,9,15\}\). Calcule \(z_i=\ln(y_i)\):
\(z\approx\{1{,}0986,\;1{,}6094,\;2{,}1972,\;2{,}7081\}\).
\(n=4,\;\sum x=10,\;\sum x^2=30,\;\sum z\approx7{,}6133,\;\sum xz\approx21{,}7412.\)
\(\displaystyle \hat\beta=\frac{21{,}7412-\frac{10\cdot7{,}6133}{4}}{30-\frac{10^2}{4}}=\frac{2{,}708075}{5}\approx0{,}5416.\)
\(\displaystyle \hat a=\bar z-\hat\beta\bar x=1{,}9033-0{,}5416\cdot2{,}5\approx0{,}5493.\)
\(\displaystyle \hat\alpha=e^{0{,}5493}\approx1{,}732.\)
Veja como foi cobrado:
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