Se a unidade de um regressor em escala multiplicativa é alterada e o regressor está em log, como isso afeta o coeficiente β em uma regressão linear com regressor logaritmizado?

Permanece igual; apenas o intercepto é ajustado.

Explicação:
Partindo do modelo \(y=\alpha+\beta\log(x)+\varepsilon\). Se muda-se a unidade por um fator \(c\) definindo \(x'=x/c\), então \(\log(x')=\log(x)-\log(c)\).
Substituindo: \(y=\alpha+\beta\log(x')+\varepsilon=\alpha+\beta[\log(x)-\log(c)]+\varepsilon\).
Logo \(y=(\alpha-\beta\log(c))+\beta\log(x)+\varepsilon\), ou seja, \(\beta\) não se altera e o novo intercepto é \(\alpha'=\alpha-\beta\log(c)\).

Exemplo:
Considere gasto em publicidade medido em centavos originalmente e passe a medir em dólares (\(c=100\)). Suponha \(\beta=0{,}4\) e \(\alpha=2\).
Novo intercepto: \(\alpha'=2-0{,}4\ln(100)\approx 2-0{,}4(4{,}6052)\approx 0{,}158\).
Conclusão: \(\beta\) continua \(0{,}4\); só o intercepto mudou.