Flashcard FC282648
Por que incluir dummies exaustivas para todas as categorias sem intercepto evita multicolinearidade perfeita?
Regressão
VUNESP · 2023
Por que incluir dummies exaustivas para todas as categorias sem intercepto evita multicolinearidade perfeita?
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Resposta
Porque as dummies são mutuamente exclusivas e, ao remover o intercepto, não existe uma combinação linear que gere uma coluna constante; assim X'X é invertível e os β̂ são as médias de cada grupo.As dummies exaustivas cobrem todas as categorias e não se sobrepõem, logo não há outra coluna que seja combinação linear delas que produza um vetor de 1s quando o intercepto é omitido.
Se o intercepto for incluído, ocorre a relação D1 + D2 + ... + Dk = 1, gerando multicolinearidade perfeita; sem intercepto essa relação não implica coluna constante em X.
Matematicamente, para k grupos o modelo sem intercepto é
\(Y = \beta_1 D_1 + \beta_2 D_2 + \dots + \beta_k D_k + \varepsilon\),
e o estimador OLS para cada coeficiente é a média do grupo:
\(\hat\beta_j = \bar{Y}_j = \dfrac{1}{n_j}\sum_{i\in j} Y_i\).
Exemplo:
Considere 3 grupos com observações de receita (meses):
Grupo 1: 10, 12 → \(\bar{Y}_1 = \dfrac{10+12}{2}=11\)
Grupo 2: 20, 22 → \(\bar{Y}_2 = \dfrac{20+22}{2}=21\)
Grupo 3: 15, 17, 19 → \(\bar{Y}_3 = \dfrac{15+17+19}{3}=17\)
No modelo \(Y=\beta_1D_1+\beta_2D_2+\beta_3D_3+\varepsilon\) (sem intercepto) os estimadores serão \(\hat\beta_1=11,\;\hat\beta_2=21,\;\hat\beta_3=17\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/282560
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