Flashcard FC282650
Em que condição amostral o coeficiente angular estimado de Y sobre X na regressão simples coincide com o estimador de β na regressão múltipla com X e Z?
Regressão
VUNESP · 2020
Em que condição amostral o coeficiente angular estimado de Y sobre X na regressão simples coincide com o estimador de β na regressão múltipla com X e Z?
Mostrar resposta e comentário
Resposta
Quando o coeficiente de correlação amostral entre X e Z for zero: \( \sum_i (x_i-\bar x)(z_i-\bar z)=0\).Explicação:
Se \( \sum_i (x_i-\bar x)(z_i-\bar z)=0\) as equações normais se separam, de modo que
\( \widehat\beta = \dfrac{\sum_i (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum_i (x_i-\bar x)^2}\), que é exatamente o estimador da regressão simples de Y sobre X.
Os interceptos podem diferir: \( \widehat\alpha_1=\widehat\alpha+\widehat\gamma\,\bar z\).
exemplo:
Considere n=3, \(X=(3,2,1)\), \(Z=(5,6,5)\), então \(\bar x=2\), \(\bar z=\tfrac{16}{3}\) e
\(\sum (x_i-\bar x)(z_i-\bar z)=1\cdot(-\tfrac{1}{3})+0\cdot\tfrac{2}{3}+(-1)\cdot(-\tfrac{1}{3})=0\).
Defina \(Y=2+1\cdot X+0.5\cdot Z\) (sem erro): \(Y=(7.5,7,5.5)\).
Cálculo da inclinação da regressão simples Y sobre X:
\(\displaystyle \widehat\beta_1=\dfrac{\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum (x_i-\bar x)^2}=\dfrac{2}{2}=1\).
Na regressão múltipla (X e Z) tem‑se o mesmo \(\widehat\beta=1\) devido à orthogonalidade amostral X–Z, enquanto os interceptos diferem: \( \widehat\alpha_{\text{mult}}=2\) e \( \widehat\alpha_{1}=4.6667\) (com \( \widehat\alpha_{1}=\widehat\alpha_{\text{mult}}+\widehat\gamma\,\bar z\)).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/282562
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em