Como se obtêm por mínimos quadrados os estimadores de α e β no modelo multiplicativo \(Y_i=\alpha e^{\beta X_i+\varepsilon_i}\)?

Transforma-se com \(Z_i=\ln Y_i\), estima-se \(a=\ln\alpha\) e \(\beta\) por MQ em \(Z_i=a+\beta X_i+\varepsilon_i\):
\( \displaystyle \hat\beta=\frac{\sum_i X_iZ_i - n\bar X\bar Z}{\sum_i X_i^2 - n\bar X^2},\quad \hat a=\bar Z-\hat\beta\bar X,\quad \hat\alpha=\exp(\hat a).\)

Explicação e exemplo:
Transforme \(Y\) aplicando log: \(Z_i=\ln Y_i\). Estime linearmente \(a\) e \(\beta\) por MQ usando as fórmulas acima e recupere \(\alpha\) por exponenciação: \(\hat\alpha=e^{\hat a}\).

Exemplo:
Suponha \(n=3\), \(X=(0,1,2)\), \(Y=(2.0,5.436,14.78)\). Então \(Z=\ln Y=(0.6931,1.6931,2.6931)\).
Calcule: \(\sum X_iZ_i=7.0793,\ \sum X_i^2=5,\ \bar X=1,\ \bar Z=1.6931.\)
Logo \( \displaystyle \hat\beta=\frac{7.0793-3\cdot1\cdot1.6931}{5-3\cdot1^2}=\frac{2.0}{2}=1.\)
E \(\hat a=\bar Z-\hat\beta\bar X=1.6931-1\cdot1=0.6931\), então \(\hat\alpha=\exp(0.6931)=2\).