Flashcard FC282669
Em um processo de médias móveis MM(q), como se comporta a função de autocorrelação \(ρ_j\) para defasagens \(j>q\)?
Análise de Séries Temporais
VUNESP · 2020
Em um processo de médias móveis MM(q), como se comporta a função de autocorrelação \(ρ_j\) para defasagens \(j>q\)?
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Resposta
ρ_j = 0 para todo j > q.Explicação:
Se \(X_t=\sum_{k=0}^q \lambda_k Z_{t-k}\) com \(Z_t\) ruído branco de variância \(\sigma_Z^2\), então a autocovariância é
\(\gamma_j=\sigma_Z^2\sum_{k=0}^q \lambda_k\lambda_{k+j}\).
Para \(j>q\) não há sobreposição de índices (todos os \(\lambda_{k+j}=0\)) e assim \(\gamma_j=0\), logo \(ρ_j=\gamma_j/\gamma_0=0\).
Exemplo:
Considere MM(2) com coeficientes \(\lambda_0=1,\ \lambda_1=0.5,\ \lambda_2=-0.3\) e \(\sigma_Z^2=1\).
\(X_t=1\cdot Z_t+0.5\cdot Z_{t-1}-0.3\cdot Z_{t-2}\)
\(\gamma_0=1(1^2+0.5^2+(-0.3)^2)=1.34\)
\(\gamma_1=1(1\cdot0.5+0.5\cdot(-0.3))=0.35\)
\(\gamma_2=1(1\cdot(-0.3))=-0.3\)
\(\gamma_3=0\) (sem sobreposição)
Logo \(ρ_1=0.35/1.34\approx0.261\), \(ρ_2=-0.3/1.34\approx-0.224\), e \(ρ_3=0\) — confirmando que \(ρ_j=0\) para \(j>2\).
Veja como foi cobrado:
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