Flashcard FC282681
Quantos autovetores linearmente independentes pode-se obter de uma matriz de covariância real e simétrica \(p\times p\) de posto completo?
Análise Multivariada
VUNESP · 2024
Quantos autovetores linearmente independentes pode-se obter de uma matriz de covariância real e simétrica \(p\times p\) de posto completo?
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Resposta
p autovetores linearmente independentes.Explicação:
Uma matriz de covariância \(C\in\mathbb{R}^{p\times p}\) é real e simétrica, então sua equação característica \(\det(C-\lambda I)=0\) tem exatamente \(p\) raízes (contadas com multiplicidade).
Se \(C\) tem posto completo, nenhum autovalor é zero, logo existem \(p\) autovetores linearmente independentes que formam uma base de \(\mathbb{R}^p\) (podendo ser escolhidos ortonormais).
exemplo:
Considere \(p=3\) e
\(C=\begin{pmatrix}2 & 0.5 & 0.3\\[4pt]0.5 & 1 & 0.2\\[4pt]0.3 & 0.2 & 1.5\end{pmatrix}\).
Como \(C\) é simétrica e (supondo) de posto completo, \(\det(C-\lambda I)=0\) fornece três autovalores \(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\) (nenhum igual a zero).
Logo obtemos três autovetores ortogonais que, após normalização, formam uma base ortonormal de \(\mathbb{R}^3\) — isto é, há 3 componentes principais efetivas.
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/282593
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