Flashcard FC282705
O que significa dizer que uma família de priors P é conjugada à família de verossimilhanças F?
Estatística Bayesiana
VUNESP · 2024
O que significa dizer que uma família de priors P é conjugada à família de verossimilhanças F?
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Resposta
Que a posterior p(θ|X) pertence à mesma família P, apenas com parâmetros atualizados.Explicação:
Conjugação significa fecho sob atualização bayesiana: pela regra de Bayes, a forma funcional de p(θ|X) permanece em P, de modo que basta somar/combinar os parâmetros da priori com estatísticas suficientes dos dados para obter a posterior.
Exemplo:
Considere uma verossimilhança Multinomial com parâmetros θ=(θ1,…,θk) e contagens x=(x1,…,xk). Tome como priori a Dirichlet Dir(α) com α=(α1,…,αk).
Prior: \(p(\theta)\propto\prod_{i=1}^k \theta_i^{\alpha_i-1}\)
Verossimilhança: \(p(x|\theta)\propto\prod_{i=1}^k \theta_i^{x_i}\)
Posterior: \(p(\theta|x)\propto\prod_{i=1}^k \theta_i^{\alpha_i-1+x_i}=\) Dir(\(\alpha+x\)).
Assim, a Dirichlet é conjugada à Multinomial: a posterior é da mesma família Dirichlet com parâmetros atualizados α_i' = α_i + x_i.
Veja como foi cobrado:
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